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ガンダム第7話で自由落下と空気抵抗の考察 ~無事着陸できるのかwktk~

2012-02-23 02:49

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・ただし、記事内容と直接関係のない考察・議論・質問はこちらのコメント欄でお願いします。

今回は空気抵抗も考えた上での自由落下をガンダムを題材に考察したいと思います(`・∀・´)

んで、問題のお話は↓

機動戦士ガンダム第7話「コアファイター脱出せよ」
敵偵察機の監視下におかれて孤立したホワイトベース。
ブライトはコア・ファイターを弾道軌道に乗せて射出し、
敵陣を飛び越すことで連邦軍本部と直接連絡をつけようと計画した。
猛スピードで射出されたコア・ファイター。
目的を察知したシャアもコムサイで迎撃に出る。
アムロは急加速に耐えられず失神し、撃墜寸前に意識を取り戻したものの、
敵編隊が迫ったために作戦は中止された。
帰還途上のアムロは、さらにガンダムへの換装と自由落下中の空中戦という無謀な依頼を受ける。
対するシャアも、ザクで巧みな空中攻撃を仕掛けてきた・・・(一部改変)      (機動戦士ガンダム公式Web



状況を絵にまとめるとこんな感じ。
空気抵抗

状況の説明と仮定とかもろもろ(; ̄ー ̄A

シャアザクがコムサイから降下(tz=0[s])してから13秒後のtg=0[s](tz=13[s]のこと)に、

 ホワイトベースからガンダムが発進します。(※1)

●自由落下中のガンダムとシャアザクには重力空気抵抗が働きます。

●アムロの台詞「地上に落ちるまでは1分20秒、それまでに仕留められるか・・・」から、

 ガンダム発進後80秒(tg=80[s]またはtz=93[s])で両機とも地上に着地するとして、

 ガンダムの着地直前の速さと自由落下開始の高度h[m]を求めるお。

●実は途中でガンダムは帰っちゃったので、シャアザクだけ着地します(´・ω・`)

 で、着地の直前t'z=0[s](tz=92[s]またはtg=79[s]のこと)にで表すように

 約1秒間逆噴射を行なって減速して着地。(※2)

 その条件から減速後の速さとそのときシャアザクがどうなるか考えま~す(-^〇^-)




○自由落下するガンダム
m:物体の質量 g:重力加速度 k:空気抵抗係数 T:推力 t:落下時間 e:ネイピア数≒2.72

v:落下速度 y:落下距離 h:落下開始高度 添字のg:ガンダム 添字のz:シャアザク とし
空気抵抗3

とおくと、自由落下の落下速度(速さ)と落下距離を表す式は以下のようになります(※)
空気抵抗7
空気抵抗10

上の⑥と⑧に次のガンダムの質量(※3)、空気抵抗係数(※4)、着地までの時間、終端速度(※5)を代入すると
空気抵抗11 空気抵抗12空気抵抗13 空気抵抗16

以下のように求まります。
空気抵抗14
空気抵抗15

つまり、ガンダムは

「高度10.8kmのホワイトベースから発進して

 秒速157m=時速564kmで着地する」


ことに・・・って、その速さで着地したらヤバイだろww

もう、着地するってレベルじゃねーぞww

ま、アムロは降下途中でスラスターを噴かせてホワイトベースに帰って、事なきを得るんだけどね。



○自由落下するシャアザク
が、シャアはそのまま降下((((;゚Д゚))))

ガンダムで↑なのに、より上空から降下したシャアザクはどうなるんだよ・・・

ってことで、着地1秒前の逆噴射開始時の落下速度と落下開始高度を求めます。

同じく⑥と⑧に次のシャアザクの質量(※3)、空気抵抗係数(※4)、着地までの時間、終端速度(※5)を代入すると
空気抵抗17 空気抵抗18 空気抵抗19 空気抵抗22

以下のようになるというのは、だいたい予想していた(゚д゚)
空気抵抗20
空気抵抗21

つまり、シャアザクは

「高度13.5kmのコムサイから降下して

 秒速166m=時速596kmから1秒間逆噴射して着地する」


ですよね~('∀`)

「でも、通常の3倍の赤い彗星なら逆噴射でなんとかなるはず!!」



○逆噴射するシャアザク
・・・と思っていた時期が現象也にもありました(ノД`)

上でも同じ文字使われてるから区別するために「'」をつけ
空気抵抗24

として、逆噴射で減速後の速度(速さ)は以下のようになるので、
空気抵抗26

次のシャアザクの質量(※3)、空気抵抗係数(※4)、推力(※6)、逆噴射の時間、逆噴射前の速度、終端速度(※5)を代入すると
空気抵抗27 空気抵抗18 空気抵抗28 空気抵抗29 空気抵抗30 空気抵抗32

↓のようにほとんど減速できていないことがわかりますww
空気抵抗31

つまり、シャアザクは

「秒速166m=時速596kmから1秒間逆噴射して

 秒速158m=時速568kmに減速して着地する」


しょうがないので、シャアザクにはもの凄い高性能なショックアブソーバーが装備してあって、

着地時の運動エネルギーを全て熱エネルギーに変換して(※7)、衝撃を緩和したとすると・・・・

空気抵抗33

この運動エネルギー(TNT爆薬約200kg分)が全て熱エネルギーに変換され、機体全体に瞬時に伝熱したとすると(※8)

次の鉄の比熱を用いて(※9)
空気抵抗34

空気抵抗35

これより、瞬時に機体の温度が28℃上昇するということになります(;゚Д゚)!

実際は瞬時に機体全体に伝熱することはないから、ショックアブソーバー周辺が溶けますw

というわけで、シャアザクは

「カッコよく逆噴射で着地したかに思えるけど、

 実際は脚部がイかれて立ち往生している」


という結果になりましたww(※10)

「赤い彗星も地に墜ちたものだな・・・」

前回も拍手・コメありがとう(*^ワ^*)


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ミノフスキー粒子の考察
※1  アニメ観ながらストップウォッチで図りました。

    アニメの中の13秒が実際の13秒かは怪しいですけど。

※2  これもストップウォッチ。

※3  MSには弾薬や燃料、武器を含めた全備重量とそれらを抜いた本体重量があるけど、今回は全備重量を使います。

    シャアザクは特殊素材の使用により、ザクⅡより若干軽いらしいけど重量設定がないので、ザクⅡのままです。

    「重量」という名称ですが、慣習的なもので実際は「質量」のことです。

※4  ここでいう“空気抵抗係数”は以下の空気抵抗を表す式のkのこと。
   空気抵抗2

    CD:空気抵抗係数 ρ:空気の密度[kg/m^3] A:投影面積[m^2] 

    本当はCD値を空気抵抗係数と言います。

    「高精度計算サイト -空気抵抗有する自由落下(時間から計算)-」に人間の“空気抵抗係数”k=0.24があります。

    これは人間についての値なので、約10倍大きさ、つまり約100倍の投影面積のMSはk=24となります。

    CD値は「基本的に」物体の形状(人型)が同じならば、大きさによらず一定なので単純に100倍しました。

    ↑すいません。嘘言いましたm(_ _)m

     CD値は物体の形状が同じでも、大きさによって変化します。

     レイノルズ数というのが関係するのですが、また追記します。

 
※5  物体に働く重力と空気抵抗が釣り合ったときの速度(速さ)のこと。

    自由落下の場合、ガンダムもシャアザクも着地前の速度はほとんど終端速度と一致した。

※6  通常の3倍と恐れられるけど、シャアザクの推力は3倍じゃなくて3割り増しという事実をご存知だろうか?

    ガンダム関連のスラスター推力の単位が力の単位であるのに[kg]となっていますが、

    これは当時の設定屋が現実の航空・宇宙分野の推力の表し方に合わせたためだと思われます。

    例えば、サターンロケットやスペースシャトルの推力の単位は「t」です。

    数値を用いるときは重力加速度g=9.8[m/s^2]をかけて[N]に直します。

※7  実際は全てが熱エネルギーになるわけではなく、音や振動としてもエネルギーが散逸する。

※8  熱伝導は物質内の温度勾配(温度の偏り)が大きいほど顕著になりますが、結局は温度勾配が有限値なので、

    一瞬で熱が機体全体に伝わるということはないです。

    一応、ザクは高性能な熱伝導体を用いて、機体構造全体に熱を分散・吸収させるという設定はあるよ。

※9  シャアザクの機体全体が装甲部材の超硬スチール合金でできているとして、

    合金は主となる金属の性質を最もよく示すことから、スチール=鉄の比熱を用いました。

※10 この事態を避けるには・・・

    ・推力を強化する=後付設定で頑張るw

    ・もっと早く、もう落下開始と同時に逆噴射を始める。アムロも空気を読んでスピードを合わせる。

    ・機体を軽くする。

    ・パラシュートをつけて、空気抵抗を大きくする。

    とかが考えられます。

    劇中では着地後、シャアザクは何ともないようですが、

    恐らくアフターバーナーを使って一時的に推力を強化して着地したのだと思います。

    熱核ジェット/ロケットエンジンにはアフターバーナーの機能があり、

    アムロも9話の空中戦でアフターバーナーを使ったのではないかという説があります。



※11 自由落下時の落下速度(速さ)の導出
運動方程式
空気抵抗1

空気抵抗の式
空気抵抗2

終端速度と定数b
空気抵抗3

①~③より
空気抵抗4

④の両辺を積分して
空気抵抗5

以下の初期条件より積分定数を定めて
空気抵抗6

自由落下時の速さが求まる。
空気抵抗7


※12 自由落下時の変位の導出
変位の微分が速さ
空気抵抗8

⑦に⑥を代入して、両辺積分後、以下の初期条件より積分定数を定めて
空気抵抗9

自由落下時の変位が求まる。
空気抵抗10


※13 スラスター噴射時の落下速度(速さ)の導出
推力は重力と逆方向であることに注意して、運動方程式
空気抵抗23

終端速度と定数b
空気抵抗24

自由落下時の落下速度(速さ)の導出と同様に①',②,③'をまとめ、両辺積分し以下の初期条件より積分定数を定める。
空気抵抗25

すると、スラスター噴射時の落下速度が求まる。
空気抵抗26
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コメント

  1. D.K | URL | -

    ん~、難しいwww

  2. 現象也 | URL | -

    Re:D.Kさん

    たしかにそうかも・・・アニメの考察で常微分方程式持ち出す人はなかなかいないよねw
    でも、↑の空気抵抗の導出は定番で覚えちゃったから、難しくないんだ^^
    やっぱり難しいのはアニメの物理現象から自分で式を考えるまでかなー。

  3. | URL | bhH.I1z6

    まあ、映像的には推力で減速して余裕もって着地してるですけどね(笑)

    カタログスペックが正しいとする根拠はなんでしょうか

  4. 現象也 | URL | -

    >犬さん

    >カタログスペックが正しいとする根拠はなんでしょうか
    あなたがサンライズその他公式から発表されている、ザクのカタログスペックを正しくないと思うのなら正しくないのでしょう。
    まあ、私からするとそのカタログスペックを疑うという行為は、辞書にかいてある単語の定義を疑うのと同じなので信じがたいですが。(しかも単語の定義と違って、スペックは数値という明確な定義が与えられるのでなおさら)

    >まあ、映像的には推力で減速して余裕もって着地してるですけどね(笑)
    ええ、そうですね。
    メタ的に言うと、放送当時に制作サイドがSF考証をきちんと行っていないことが原因です。
    映像化する時点でザクの推力などを設定し、上記記事のようにSF考証を行って、推力での減速時間を調整していればベストでしたが、先に映像を作ってしまっていますからね。
    しかも、後付けの推力の設定もよく吟味されていませんし。
    ↓詳しくは以下の記事を
    http://2zimu.blog.fc2.com/blog-entry-306.html

    端的に言えば、上記記事はガンダムの映像と設定・SF考証とのはく離とおざなりさを表しているのですよ。
    ただ、ガンダムはハードSFでもないですし所詮はアニメですので、私はそれを批判するつもりはありませんよ。
    むしろ細かい設定やSF考証に囚われて、制作が遅れたり、演出に制限がかかるくらいなら、気にしなくてもよいと思います。

    何が言いたいかというと、この記事は全体の雰囲気からみてもわかるとおり、ガンダムの映像と設定・SF考証とのはく離を用いたお遊びなんです。
    (ガッツリ計算していますが、それすらもお遊びです)
    そこに真面目に突っ込み入れられても、ネタにマジレスというやつで困るんです 笑

  5. | |

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